ALGEBRA

ALGEBRA
 suma y resta de polinomios 
Suma:  
La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios y , obtenemos un tercero , que es la suma de los dos anteriores, tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de y del mismo grado.
Resta:
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

¿Cómo sumar y restar polinomios?

Suma de polinomios en horizontal Ejemplo:Suma de polinomios en verticalEjemplo:Fíjate en el primer polinomio. Hay que escribirlo ordenado y ver si está completo. En este caso falta el término de grado 3, entonces debemos dejar el hueco correspondiente o escribir un cero en su lugar.Ahora escribimos el segundo debajo del primero, de manera que coincidan los términos semejantes uno debajo de otro.Resta de polinomios


Para hacer las operaciones en horizontal primero escribimos un polinomio y seguido en la misma línea escribimos el otro que vamos a sumar o restar. Después, agrupamos términos semejantes.Vamos a realizar la suma. Para ello escribimos cada uno rodeado de paréntesis y con el signo de la suma entre ellos.Fíjate en los términos que son semejantes entre los dos polinomios.No podemos sumar dos términos que tienen distinto grado, solo podemos agrupar los que sean semejantes y después sumar.En la siguiente imagen están identificados los términos semejantes rodeados con el mismo color.Igual que hemos hecho con el término de grado 2, debemos sumar los términos de grado 1 y los términos de grado 0.El resultado de la suma es:Para hacer las sumas en vertical debemos escribir el primer polinomio ordenado. En el caso de que sea incompleto es conveniente dejar los huecos libres de los términos que falten. Después, escribimos el siguiente polinomio debajo del anterior, de manera que coincida justo debajo el término semejante al de arriba. Después, ya podemos sumar cada columna.Vamos a ver la suma en vertical con los dos polinomios del ejemplo anterior.Solo queda sumar cada columna, es decir, sumar los términos semejantes

                                                          

                                                  Resta de polinomios 

Entre las operaciones que pueden realizarse entre dos polinomios, se considera a la resta como la operación por medio de la cual uno de los polinomios es identificado como el minuendo, y otro el, como el sustraendo, procediendo entonces a sumar el opuesto del sustraendo (el cual es definido como opuesto por la alteración de signos que sufre al ser agrupado dentro de un paréntesis delante del cual se coloca un signo de resta) al minuendo.

Al igual que suele ocurrir en la operación de Suma de polinomios, en cuanto a la operación de resta pueden existir dos métodos aplicables, los cuales conducirán a iguales resultados. A continuación, una breve explicación de cada uno de ellos:

Metodo 1

Q(x)= 9x2 – x3 + 9 – 2

Metodo 2

Q(x)= –x3 + 9x2 + 9 – 2

En este sentido, el primer método consistirá en ordenar los polinomios, agruparlos según sus grados, y proceder a sumar los términos semejantes, a fin de llegar una expresión común. Un ejemplo de esto, lo puede constituir el siguiente:

Dado los siguientes polinomios, se procederá a realizar una resta entre estas expresiones algebraicas:

P(x)= 4 – 2x – 5x2 + 2 + 8x3

Lo primero que deberá hacerse es organizar ambos polinomios, lo cual se hará en base al grado máximo:

P(x)= 8x3 – 5x2 – 2x  + 4 + 2

Una vez hecho esto, se deberá colocar cada polinomio uno frente al otro, a fin de poder observar cuáles son los términos semejantes:

P(x)–Q(x)= (8x3+3x2–5x2–2x +4+2) – (–x3+9x2+x2+9–2)=

P(x)–Q(x)= 8x3–5x2–2x +4+2 + x3-9x2-9+2=

Identificados los términos semejantes, se procederán entonces a agruparlos:

P(x)–Q(x)= (8x3+x3)+(–5x2-9x2)+(–2x)+(4+2 -9+2)=

Se resolverán cada una de las operaciones planteadas dentro de los paréntesis, tomando como parámetro la Ley de signos:

P(x)-Q(x)= (9x3) + (-14x2) – 2x + (-1)

P(x)-Q(x)= 9x3 – 14x2 – 2x – 1

Por ende, el resultado final usando este método será:

P(x)-Q(x)= 9x3 – 14x2 – 2x – 1

No obstante, existe otro método, el cual consiste en disponer los polinomios, uno sobre otro –en lugar de enfrentados- a fin de sumar igualmente, el minuendo con el opuesto del sustraendo. Por consiguiente, se podrían usar los mismos polinomios del primer ejemplo, a fin de comprobar que ambos métodos originan iguales resultados, tal como se muestra a continuación:

P(x)= 4 – 2x – 5x2 + 2 + 8x3

Q(x)= 9x2 – x3 + 9 – 2

Como primer paso, se deberán organizar ambos polinomios, de acuerdo a sus grados:

P(x)= 8x3– 5x2 – 2x + 4 + 2

Q(x)= – x3+ 9x2 + 9 – 2

Se expresará la resta de los dos polinomios, a fin de colocar el signo menos delante del sustraendo, para obtener entonces su opuesto:

P(x)-Q(x)= (8x3– 5x2 – 2x + 4 + 2) – (– x3+ 9x2 + 9 – 2)=

Seguidamente, se deberá colocar el minuendo sobre el sustraendo, respetando con un espacio vacío si alguno de los polinomios no llegara a presentar una secuencia ininterrumpida de grados, es decir, si no fueran polinomios completos, y se procede a sumar los términos semejantes, no sin antes haber reducido aquellas variables que cuenten con más de un término, como por ejemplo:

8x3 – 5x2 – 2x + 4 + 2

 x3  –   9x2                – 9 + 2

9x3 – 14x2 – 2x – 5 + 4

De esta forma, el resultado final será:

  P(x) – Q(x)= 9x3 – 14x2 – 2x – 1